LewenbergのBitcoinマイニングプールにおける協力ゲーム理論分析論文を読んでみる9

本稿について

Bitcoinマイニングプールのインセンティブ設計について協力ゲーム理論の観点から分析したLewenbergらの論文を見ていきます。本稿では「5. Mining in Coalition Structures」を見ます。

原文はこちらになります。

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今回のまとめ

• 今回の範囲は本論文にて提携構造を分析する際のモデルの「定義」を扱うものであるが、数式を用いてシンプルに記載されており、どちらかと言えばまとめるよりも補足する方が必要だと思われるので下記文中にて補足を行う。必要に応じて「筆者補足」部分を参照されたい。

※以下、今回まとめた範囲の論文和訳になりますので詳細をご覧になりたい方は読み進めてください。

5. 提携構造におけるマイニング

マイナーとプールのインタラクションのモデルを提携構造を持つ協力ゲームとして提示する。

定義1

提携構造を持つマイナーの提携形ゲームをタプルC = <M, P, D, d, β>で定義する。ここで、はマイナー（プレイヤー）の集合、Pはマイナー間の計算パワーの分布、Dはプール間のディレイ、dはプール内のディレイ、βは最長チェーンに求められる成長率である。所与の提携構造S ∈ CS(M)について、Γ = <M, S, P, D, d, λ>はβ(Γ) = βを満たすマイナーネットワークとする。全てのC ∈ Sについて、v_S(C) = γ(Γ)_Cを設定する。v_S(C)は最長チェーンにおけるプールの利得である。

さて、提携構造を持つゲームに私たちの主たる洞察を与える。分割関数vについていくつかの非常に一般的な仮定を置くと、提携を構成するエージェント間で利得を分割する安定的な方法は存在しない。この不安定さは結局のところこのゲームのD_MS-CSコアが空集合であるということに相当する。

定義2

全てのプレイヤーの集合をIとし、「重みベクトル（weight vector）」をwとする。全てのi ∈ Iについてw_i ≥ 0かつΣ_i∈Iw_i = 1であるならば、w ∈ R^|I|はIに関連する重みベクトルである。全てのC ∈ Iについて、w(C) = Σ_i∈Cw_iであるものとする。

筆者補足：

• 「重みベクトル」はプレイヤーの貢献度のようなものと考えておくと分かりやすいでしょう。

定義3

vについて、

• 全てのS ∈ CS(I)について、Σ_C∈Sv_S(C) = cが成り立つようなc ∈ R⁺が存在するならば、vは「定和（Constant-Sum）」である。
• max_C∈Sw(C) > min_C∈Sw(C)を満たすような全てのS ∈ CS(I)について、v_S(C_i) > w(C_i)・Σ_C∈Sv_S(C)がC_i ∈ arg max_C∈Sw(C)について成り立つならば、vは重みベクトルw ∈ R^|I|に関して「非線形（Nonlinear）」である。
• S = {C₁, ... C_m}(m > 2)かつv_S(C₁) ≤ ... ≤ v_S(C_m)であるような全てのS ∈ CS(I)について、v_S(C₁) + v_S(C₂) < v_Sc(C)がC = C₁ ∪ C₂について言えるならば関数vは「単調（Monotonic）」である。

筆者補足：

• 記号の意味などが不明な方は先にこちらLewenbergのプール分析論文を読んでみる4、5、6、7、8をお読みください。一連の分析なので一息に読んだ方が理解しやすいと思われます。
• 一番最初の「定和」は、どんな提携構造においてもその提携の取り分を合算すると必ず同じ値になるということ。イメージとしては全体のパイが決まっていることと考えると分かりやすいでしょう。
• 二つ目の「非線形」について。ある提携構造の中の提携（C_iとされているもの）を1つとって見てみます。この提携C_iは提携構造Sの中で「重みベクトル」が最も大きい提携の1つであるとします。このとき、「この提携C_iの利得が提携構造全体で得られる利益にC_iの重みベクトルをかけたものより大きい」場合、利得は重みに対して比例するような配分とならない...ということです。もう少し簡単にすると、チーム内に最も強いプレイヤーの取り分が、チーム全体の取り分×最強プレイヤーの貢献度（≒重み）よりも大きい場合、貢献度に比例するような取り分の配分にならない...ということです。
  • 例：優勝賞金100万円のゲームがあって、あるチームが100万円を見事勝ち取ったとしましょう。このうちチームに6割貢献した人が60万円より多く、たとえば80万円をとっていっちゃったら、残りの人たち（合計4割貢献）で20万円（賞金の2割）を分け合わないといけないわけで、貢献度に比例するような配分なんて絶対無理だよね、という考えてみると当たり前な話です。（※ここでいう比例は「一次関数的な比例」です。）
• 最後の「単調」について。提携構造Sを構成している提携を利得の少ない順から並べてみます。このうち、利得が一番少ない提携（C₁）と二番目に少ない提携（C₂）を見てみます。「C₁の利得とC₂の利得を足したもの」と「C₁とC₂が一緒になって提携Cを構成した場合に得られる利得」とを比較した時に後者の方が大きいならば、利得を決める関数vは単調である、となります。

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